Governo Federal

Dados do Trabalhos de Conclusão

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ
MÉTODOS NUMÉRICOS EM ENGENHARIA (40001016030P0)
CLASSE DE METODOS CHEBYSHEV-HALLEY INEXATA LIVRE DE TENSORES COM CONVERGÊNCIA CUBICA PARA RESOLUÇÃO DE SISTEMAS NÃO LINEARES E UM ESTUDO SOBRE RAIO DE CONVERGÊNCIA
RODRIGO GARCIA EUSTAQUIO
TESE
06/12/2013

Esta tese introduz dois novos resultados sobre a Classe Chebyshev-Halley para resolução de sistemas não-lineares. Os metodos dessa classe possuem convergência cubica, tendo portanto uma taxa de convergência superior a do metodo de Newton. Em contrapartida, esses metodos são mais caros computacionalmente, por necessitarem de derivadas de segunda ordem. O primeiro resultado apresentado e um resultado teorico. Introduzimos um novo raio de convergência para a Classe Chebyshev-Halley, ou seja, mostramos que dado qualquer ponto inicial pertencente a uma bola centrada em uma solução com o novo raio, a sequência gerada por qualquer metodo da Classe Chebyshev-Halley e bem de nida e converge para a respectiva solução com taxa de convergência cubica. Comparamos com o raio utilizado na prova de convergência dada no livro Numerische Losung Nichtlinearer Gleichungen [70] para os metodos Halley, Chebyshev e Super-Halley, atraves de alguns exemplos. As comparações apresentadas sugerem perpectivas futuras, tais como determinar o raio otimo de convergência. O segundo resultado apresentado e a introdução de uma nova classe de metodos, chamada Classe Chebyshev-Halley Inexata livre de tensores, cujo objetivo e baratear o custo computacional da Classe Chebyshev-Halley, no que tange o uso da derivada de segunda ordem e a resolução de dois sistemas lineares. A grosso modo, não utilizamos informações de derivada de segunda ordem e os dois sistemas lineares, necessarios para a obtenção do passo, podem ser resolvidos de maneira inexata. Alem de apresentar a prova de convergência, mostramos que, dependendo das hipoteses, os metodos dessa classe podem ter taxa de convergência superlinear, quadratica, superquadratica e cubica. Mostramos tambem que essas hipoteses são bastante razoaveis. Por m, comparações numericas são apresentadas, mostrando uma melhoria signifi cativa quando se usa a estrategia inexata livre de tensores, proposta nesta tese, nos metodos classicos da Classe Chebyshev-Halley.

Classe Chebyshev-Halley Inexata livre de tensores, raio de convergencia, taxa de convergencia, sistemas nao-lineares.
This thesis introduces two new results about the Chebyshev-Halley Class for solving nonlinear systems. The methods in this class have third-order rate of convergence, which means they have a better rate of convergence than Newton’s method. In contrast, these methods are computationally expensive, requiring second-order derivatives. The first result presented is a theoretical result. We introduce a new convergence radius for the Chebyshev-Halley Class, that is, we proved that given any starting point belonging to a ball centered at a solution with the new radius, the sequence generated by any method in the Chebyshev-Halley Class is well defined and converges to that solution with cubic convergence rate. We compared the new radius with the one given in the book Numerische L¨osung Nichtlinearer Gleichungen [70] for Halley, Super-Halley and Chebyshev methods, using some examples. The comparisons suggest future perspectives, such as determining the optimal radius of convergence. The second result presented is the introduction of a new class of methods, called Inexact Chebyshev-Halley tensor free Class, whose goal is to reduce the computational cost of the Chebyshev-Halley Class, by not computing the second-order derivatives and by approximately solving two linear systems required for obtaining the necessary intermediate computations. Besides presenting the proof of convergence, we show that, depending on the assumptions, the methods of this class can have superlinear, quadratic, superquadratic and cubic convergence rates. We also show that these assumptions are quite reasonable. Finally, numerical evidence that shows significant improvement when utilizing the inexact tensor free strategy (in the context of the classical methods of Chebyshev-Halley class) proposed in this thesis is presented.
Inexact Chebyshev-Halley tensor free Class, convergence radius, convergence rates, nonlinear systems
01
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PORTUGUES
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ

Contexto

PROGRAMAÇÃO MATEMÁTICA
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Banca Examinadora

ADEMIR ALVES RIBEIRO
Sim
Nome Categoria
ROBERTO ANDREANI Participante Externo
YUAN JINYUN Participante Externo
RODOLFO GOTARDI BEGIATO Participante Externo
GISLAINE APARECIDA PERICARO Participante Externo

Vínculo

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Não