Nesta dissertação, faremos um estudo qualitativo da existência, unicidade e regularidade de soluções para o problema
u′′(x, t) − Δu(x, t) + p(x, t)u(x, t) = f(x, t) em Ω × (0, T)
u = g sobre Γ × (0, T)
u(x, 0) = u0(x), u′(x, 0) = u1(x) em Ω
baseado nas idéias de Medeiros em [21], onde Ω é um aberto limitado do RN com fronteira Γ de classe C2 e T > 0 arbitrário. Como objetivo principal, estudaremos a controlabilidade exata na fronteira para o problema
u′′(x, t) − Δu(x, t) + p(x, t)u(x, t) = 0 em Ω × (0, T)
u = v sobre Γ0 × (0, T)
u = 0 sobre Γ\Γ0 × (0, T)
u(x, 0) = u0(x), u′(x, 0) = u1(x) em Ω.
Isto é feito através do estudo da Desigualdade de Carleman e da Desigualdade de Observabilidade, ao qual são demonstrados seguindo as idéias de Imanuvilov em [12] e expostas por Baudouin e por Puel em [3], [29] respectivamente. Por fim, aplicamos o Método do "HUM” idealizado por J.L. Lions em [16], que significa "Hilbert Uniqueness Method”, para obter o resultado principal, a demonstração é feita seguindo as idéias de Medeiros em [21].